Question

设函数f(x)=1nx+1n(2-x)+ax(a>0)

当a=1时，求f(x)的单调区间
若f(x)在（0，1）上的最大值为1/2，求a的值
若f(x)在（0，1] 上的最大值为1/2，求a的值

Answer 1

解：1.f '(x)=1/x-1/(2-x)+a=(2-2x)/[x(2-x)] +a;
若a=1，则：f'(x)=(2-2x)/[x(2-x)]+1=(2-x²)/[x(2-x)]
当0<x<√2时，f'(x)>0，此时函数是增函数；
当√2<x<2时，f'(x)<0，此时函数是减函数。
所以f(x)的单调递增区间为（0，√2），而单调递减区间为（√2，2）

与楼主沟通，知（0，1）应为（0，1]!!!!
2.由第1小题可得：
f '(x)=1/x-1/(2-x)+a=(2-2x)/[x(2-x)] +a
当0<x≤1时，2-2x≥0，2-x>0，a>0
则(2-2x)/[x(2-x)] +a>0即f '(x)>0
这就是说函数f(x)在区间（0，1]上是增函数
则当x=1时，函数f(x)有最大值1/2，即：
f(1)=ln1+ln1+a*1=1/2
解得a=1/2

Answer 2

buhui

Answer 3

f '(x)=1/x-1/(2-x)+a=[2-x-x+a(2-x)]x/[x(2-x)];
a=1;f'(x)=(2-x^2)/[x(2-x)];当0<x<=根号2；f'(x)>=0函数递增加，
当根号2<x<2f'(x)>=0函数递减少;
第二问有点麻烦要讨论a的情况

追问

a大于0

Answer 4

x^2-x-a-a^=(x-a)(x a)-(x a)=(x a)(x-a-1)