Question

已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长

已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F。求证：AB=FC

Answer 1

分析：由已知说明∠FCE=∠B，∠FEC=∠ACB，再结合EC=BC证明△FEC≌△ACB，利用全等三角形的性质即可证明．

证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，

∴∠FEC=∠ACB=90°．

∴∠F+∠ECF=90°．

又∵CD⊥AB于点D，

∴∠A+∠ECF=90°．

∴∠A=∠F．

在△ABC和△FCE中， {∠A=∠F   ∠ACB=∠FEC     BC=CE，

∴△ABC≌△FCE．

∴AB=FC．

Answer 2

∵CD⊥AB于点D，即∠ADC=90°；FE⊥AC于点E，即∠FEC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°；∠ACD+∠F=90°
∴∠A=∠F。
∵CE=BC，∠A=∠F，∠ADC=90°，∠FEC=90°
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC（全等三角形的对边相等）。

Answer 3

证明：在△ACB , △ADC中，
∠A+∠ACB+∠B=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°
又∵∠ACB=∠ADC=90°
∴∠B=∠ACD
在△FEC中 ，∠F+∠FEC+∠ECF=180°
∵∠FEC=90°，∠ECF=∠ACD
∴∠F=∠A ∠EFC=∠B
又∵CE=BC
∴△ACB≌△FEC 即 AB=FC