Question

证明a1=根号2,an+1=根号2an,n=1,2,~~,则数列an收敛并求出极限

Answer 1

解：假设存在一个n使得an>=2,则由an-1=an^2/2可知an-1>=2,这样一直向前推得到a1>=2,与a1=根号2矛盾！所以对于任意正整数n都有0<an<2，所以an+1-an=根号2an-an=根号an（根号2-根号an）>0，即数列an单调递增且有上界2，故数列an收敛且极限存在，设其极限为a则有a=根号2a即a^2=2a且a>0,得a=2.