Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D做AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由；
（2）若D在底边BC的延长线上，则第（1）题中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的数量关系？请画图说明理由．

Answer 1

第一题：DE+DF=CG。
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD+S三角形ACD
=AB*DE/2+AC*DF/2
=AB*（DE+EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE+EF）/2
DE+DF=CG。

第二题：D在BC的延长线上，CG=DE-DF，
S三角形ABC=AB*CG/2
连接 AD，
S三角形ABC=S三角形ABD-S三角形ACD
=AB*DE/2-AC*DF/2
=AB*（DE-EF）/2
AB*CG/2 =AB*（DE-EF）/2
CG=DE-DF。
同理D在CB的延长线上，CG=DF-DE

Answer 2

DE+DF=CG
连结DA
因为三角形CDA的面积为：AC与DE积的一半
三角形DBA的面积为：DF与AB积的一半
三角形ABC的面积为：CG与AB积的一半
又因为 AB=AC
所以三角形ABC的面积=三角形DBA的面积+三角形CDA的面积
CG与AB积的一半=DF与AB积的一半+AC与DE积的一半
CG与AB的积=DF与AB的积+AC与DE的积
CG与AB的积=（DF+DE)与AB的积
所以CG=DF+DE

第二题要看往哪边的，如果是左 ：CG=DF-DE 右：CG=DE-DF 方法和上述的是差不多的

稍稍变动一下即可