Question

求函数f(x)=-x平方+2ax-3在区间(2,4)的最值

Answer 1

【原命题】：
求函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最值？

解题思路：
从函数图像与x轴的个数来考虑这个题目，也就是：
1） △<0 1个交点 ，确定a的取值范围，判断函数f(x)的对称轴与区间(2,4)位置关系；
2） △=0 1个交点，确定a的取值范围，判断函数f(x)的对称轴与区间(2,4)位置关系；
3） △>0 2个交点，确定a的取值范围，判断函数f(x)的对称轴与区间(2,4)位置关系；

对于一般二次函数f(x)=ax²+bx+c的最值问题，主要看二次函数f(x)的定义域在直角坐标系中的位置，也就是比较“定义域”与“顶点”或“函数的对称轴”的位置确定，有时还要考虑到与x轴的交点情况。

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以下解题过程包括了你所说的四种情况，另外还涵盖了一种特殊情况：

解：设F(a)= f(4)- f(2)，由题意可得到：
f(2)=-2²+2a×2-3=4a-7
f(4)=-4²+2a×4-3=8a-19
函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴为：x=-2a/[2×(-1)]=a
函数F(a)= f(4)- f(2)=4a-12
a<3 ，F(a)<0
a=3 ，F(a)=0
a>3 ，F(a)>0

i) 当a≤2时，函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a在直线x=2左边
∵ a≤2
∴ 区间(2，4)在函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a的右边
∴ 当a≤2时，函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最值为：
最大值：f(2)=4a-7
最小值：f(4)=8a-19

ii) 当2<a≤3时，函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a在直线x=2，与x=3之间
∵ 2<a≤3
∴ 区间(2，4)在函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=2两边
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最大值：f(a)=-a²+2a×a-3= a²-3
∵ a<3 ，F(a)<0
∴ f(4)- f(2) <0 f(4) <f(2)
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最小值：f(4)=8a-19
综述：当2<a≤3时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=a²-3
最小值：f(4)=8a-19

iii) 当a=3，函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a在直线x=2，与x=3之间
∴ 区间(2，4)在函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=2两边
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最大值：f(a)=-a²+2a×a-3= a²-3
∵ a=3 ，F(a)=0
∴ f(4)- f(2) =0 f(4)=f(2)
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最小值：f(4) = f(2)=5
综述：当a=3时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=f(3)=6
最小值：f(4)=5

iiii) 3<a<4，函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a在直线x=2，与x=3之间
∵ 3<a<4
∴ 区间(2，4)在函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=2两边
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最大值：f(a)=-a²+2a×a-3= a²-3
∵ a>3 ，F(a)>0
∴ f(4)- f(2) >0 f(4) >f(2)
∴ 函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最小值：f(2)=4a-7
综述：当3<a<4时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=a²-3
最小值：f(2)=4a-7

Iiiii） 当a≥4时，函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a在直线x=4右边
∵ a≥4
∴ 区间(2，4)在函数f(x)=-x²+2ax-3的对称轴x=a的左边
∴ 综述： 当a≥4时，函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最值为：
最大值： f(4)=8a-19
最小值： f(2)=4a-7
综上所述：
i) 当a≤2时，函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最值为：
最大值：f(2)=4a-7；
最小值：f(4)=8a-19
ii) 当2<a≤3时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=a²-3；
最小值：f(4)=8a-19
iii) 当a=3时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=f(3)=6
最小值：f(4)=5
iiii) 当3<a<4时，函数f(x)=-x²+2ax-3最值为：
最大值：f(a)=a²-3
最小值：f(2)=4a-7
Iiiii）当a≥4时，函数f(x)=-x²+2ax-3在区间(2，4)的最值为：
最大值： f(4)=8a-19
最小值： f(2)=4a-7

Answer 2

f(x)=-x^2+2ax-3=-(x^2-2ax+a^2)+a^2-3=-(x-a)^2+a^2-3
显然当x>a时函数递减，当x<a时函数递增。
若a<2<x，则函数在区间(2,4)是递减的，无最大值也无最小值；
若a>4>x，则函数在区间(2,4)是递增的，无最大值也无最小值；
若2<a<4，则函数有最大值a^2-3，此时x=a，但无最小值。

追问

老师说分4种情况。。。。