Question

高等数学（微积分）数列求极限

看图
要详细步骤。。次方之类的要写清楚

Answer 1

因为(2n-1)/2^n = (2n+1)/2^(n-1) - (2n+3)/2^n
所以1/2 = 3/2^0 - 5/2^1
3/2^2 = 5/2^1 - 7/2^2
...
(2n-1)/2^n=(2n+1)/2^(n-1) - (2n+3)/2^n
所以级数的部分和S(n)=3 - (2n+3)/2^n
所以极限为limS(n)=3.

追问

我用错位相减的方法也可以求到这一步，但S(n)=3 - (2n+3)/2^n
我什么(2n+3)/2^n的极限就是0，若什么定理的说一下。。。若有什么化简的再写清楚些。。。
我可以追加分。。。只求搞懂~

追答

用二项式展开2^n =(1+1)^n = 1 + (n-1)n/2 + ... >(n-1)n/2
所以0<(2n+3)/2^n <2(2n+3)/((n-1)n) = 4/(n-1) + 6/(n(n-1))→0, n→∞,
所以极限的迫敛性(夹逼法)，可得lim(2n+3)/2^n =0.

或用洛比达法则先求lim(2x+3)/2^x , x→∞, 的极限
因为是∞/∞型极限，适用洛比达法则，lim(2x+3)/2^x = lim2/(ln2 * 2^x) =0,
再由归结原则(海涅定理)可得lim(2n+3)/2^n =0, n→∞.

Answer 2

括号内的内容可以化简为3-（1/2的n-1方）
所以其极限为3

用错位相消来化简

Answer 3

将括号内整体设为一个s 在计算2分之一乘以s 然后相减 得到2分之一s的值 可以化简 这样就把无穷化为有穷 计算极限 得到2分之3

追问

答案是3。。。。

Answer 4

S(n)=3 - (2n+3)/2^n
(2n+3)/2^n这个可以用L.Hospital法则，上下各求导，则分子只有1，极限为0
所以结果为3