Question

求不定积分中的一个递推公式，题目如下： 求积分dx/[(1+x^2)^2] 书上直接给出由递推公式得：

=1/2(2-1)[x/(x^2+1)+积分du/(1+x^2)^2
求公式。能给出图片最好、这个看不清楚。麻烦各位高手了。

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

∫ dx/(1+x²)²
令x=tant，dx=sec²t dt
原式=∫ sec²t/(1+tan²t)² dt
=∫ sec²t/(sec²)² dt
=∫ cos²t dt
=(1/2)∫ (1+cos2t) dt
=(1/2)(t+1/2*sin2t) + C
=(1/2)t + (1/2)sintcost + C
=(1/2)arctanx + (1/2)[x/√(1+x²)][1/√(1+x²)] + C
=(1/2)[x/(1+x²)+arctanx] + C

Answer 3

用三角函数可以做
令x=tana 原积分可化为cos²ada=1/2(1+cos2a)da
积分得a/2+1/4*sin2a 带回x得:x/[2(1+x²)]+1/2*arctanx