Question

dv/dt=-kvt-g 怎么积分

Answer 1

这个是非其次的，先求其次方程dv/dt = -kvt的解
分离变量得dv/v = -ktdt
积分得lnv = -1/2kt² + C
所以v = C*e^(-1/2kt²)
为了求原方程的解，设v = (C1t+C2)*e^(-1/2kt²)
那么v' = (C1-C1kt² - kC2t)*e^(-1/2kt²)
代入原方程得C1*e^(-1/2kt²) = -g
所以C1 = -g*e^(1/2kt²)
所以得到v = -gt + C*e^(-1/2kt²)

Answer 2

先求出非齐次方程的一个特解，再加上齐次方程通解。

对于齐次方程dv/dt=-kvt
变为dv/v=-ktdt
通解为v=Ce^(-1/2kt²) (C为常数)

采用常数变易法求非齐次方程特解，设特解为v0=u(t)e^(-1/2kt²)
带入原方程有
u'(t)e^(-1/2kt²)+u(t)(-kt)e^(-1/2kt²)=-ktu(t)e^(-1/2kt²)-g
即u'(t)e^(-1/2kt²)=-g
则u'(t)=-ge^(1/2kt²)
u(t)=-g∫e^(1/2kt²)dt
其中类似∫e^(1/2kt²)dt无法写成初等函数形式可保留。则通解为

v=Ce^(-1/2kt²)-ge^(-1/2kt²)∫e^(1/2kt²)dt

Answer 3

TT是什么、