Question

高中函数周期性一道题

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= 1/f(x)。若f(x)=-5,则 f(f(5))=???????
老师说的有些不明白 他由f(x+2)=1/f(x) 得f（x+4）=1/f(x+2)
所以f（x+4）=f(x)。这里我还知道。然后他出了一个f(2011)=？
他说既然f（x+4）=f(x)，则f(2011)=f(4*502+3)=f(3),我就蒙了，求指点！！感激不尽

Answer 1

f(x+2)= 1/f(x)你最好换个字母，对初学者好理解
f(t+2)=1/f(t),f(t)*f(t+2)=1
取t=x代入得f(x)*f(x+2)=1
取t=x+2代入得f(x+2)*f(x+4)=1,根据等量代换的方法f(x)=f(x+4)
说明该函数以4为周期也就是说自变量加4，函数值不变
f(3)=f(7)=f(11)=f(15)...=f(3+4*502)=f(2011)

Answer 2

周期是T
则若两个数相差周期的整数倍，他们的函数值相等
因为f(3)=f(3+4)=f(7)=f(7+4)=f(11)=……
以此类推
一直可以到=f(2011)

Answer 3

这样理解
f(3)=f(7)=f(11)=f(15)....=f(4*502+3)
每一个都加四

Answer 4

f（x+4）=f(x)
则f(2011)=f(4*502+3)=f(4*501+3+4)=f(4*501+3)=f(4*500+3+4)=f(4*500+3)=...=f(3)

Answer 5

f（x+2）=1/f（x）所以 f（x+4）=1/f（x+2）=1/1/f（x） 所以f（x+4）=f（x） 所以周期T=4 f（2011）就是502个4 还多余个3 所以f（2011）=f（3）

Answer 6

采纳第一个。。。。