Question

如何用导数对数列求和？

像形如an=a*x^n的数列，如何用导数对其求和？
请问Zechi，能不能举一个详细的例子？谢谢。

Answer 1

用导数求和,就是先对不易求解的和式先求导，然后再积分。前提是求导后的和式易于求解。
但是你所举之例，不易于用导数求解，因为：
求导前;
ax,ax^2,ax^3,....a*x^n——求和容易。
求导后：
a,2ax,3a^2,....nax^(n-1)——求晌御和麻烦。
举例：
ax,ax^2/2,ax^3/3,....a*x^n/n
Sn=ax+ax^2/2+ax^3/3+....+a*x^n/n
dSn/dx=a+ax+ax^2+....+ax^(n-1)
[导闷模数公式：d(ax^n)/dx=nax^(n-1)]
dSn/dx=a(1-x^n)/(1-x)
上式x取值范围不同，结论不同，为简单期间，设0<x<1
当n趋于无穷大蚂谨缓时，dSn/dx=a/(1-x)
将上式两边同时积分得：
S=-aln(1-x)