Question

利用单调有界数列必有极限存在准则,证明数列极限存在并求出

数列为：√2，√（2+√2），√（2+√（2+√2））……

Answer 1

数列关系式
a（n+1）=√（2+an）
数学归纳法
假设递增数列即a（n+1）》an
a1=√2
n=2 a2=√（2+√2 ） a2>a1
n=k
a(k+1)>ak
n=k+1
a(k+2)=√(2+a(k+1))>a(k+1)=√(2+ak)
所以是递增数列
a（n+1）=√（2+an）>an
2+an>an²
-1〈an〈2
an〈2
so单调有界数列
这样
当n无穷大时，an的极限=a（n+1）的极限=k
k=√（2+k）
k=2

追问

当n无穷大时，an的极限=a（n+1）的极限=k
k=√（2+k）
k=2

这个能说详细一点吗

追答

当n无穷大时，an与a（n+1）的差值就不怎么大了，因为他们都接近极值了（涉及微积分，意思就是理想状况下n正无穷时，极值等于an）
在无穷大时an跟a（n+1）都等于极值了
设极值=k
解方程
any question 追问
快一点点，我马上要下线了