Question

已知实数x,y满足x^2+y^2-2x+2y=6,求 x^2+y^2的最值

Answer 1

x^2+y^2-2x+2y=6
(x-1)^2+(y+1)^2=8
所以所有的点(x,y)在以(1,-1)为圆心，2√2为半径的圆上
显然原点在圆内
求x^2+y^2的最值就是求圆上的点到原点的最值的平方
因为圆心到原点的距离是d=√[(1-0)^2+(-1-0)^2]=√2

所以x^2+y^2的最小值是(d-r)^2=(√2)^2=2
最大值是(d+r)^2=(3√2)^2=18

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

Answer 2

x^2+y^2-2x+2y=6
即(x-1)²+(y+1)²=8
可设x=2√2cost+1 y=2√2sint-1
则x²+y²=(2√2cost+1)²+(2√2sint-1)²
=8cos²t+4√2cost+1+8sin²t-4√2sint+1
=10+4√2(cost-sint)
=10+8[(√2/2)cost-(√2/2)sint]
=10+8sin(45°-t)
因-1≤sin(45°-t)≤t
所以最大值=10+8=18
最小值=10-8=2
希望能帮到你，(⊙ o ⊙ )谢谢！

Answer 3

x^2+y^2-2x+2y=6,
(x-1)^2+(y+1)^2=8
令x-1=2√2cosθ,y+1=2√2sinθ
x=1+2√2cosθ,y=-1+2√2sinθ
所以
x^2+y^2=(1+2√2cosθ)^2+(-1+2√2sinθ)^2
=8+4√2(cosθ-sinθ)+2
=10+4√2(cosθ-sinθ)
=10+8cos(θ+π/4)
所以
最大值为18，最小值为2。

Answer 4

x^2-2x++1+y^2+2y+1=6+2
(x-1）²+（y+1）²=8
设x-1=2√2 cosα，y+1=2√2 sinα
x²+y²=（2√2 cosα+1）²+（2√2 sinα-1）²
=10+4√2（cosα-sinα）
=10+8（√2/2cosα-√2/2sinα）
=10+8cos（π/4+α）
∵-1≤cos（π/4+α）≤1
∴x²+y²的最大值为18，最小值为2

Answer 5

用三角代换 x^2+y^2-2x+2y=6
（x-1)^2+(y+1)^2=4设
x=1+2sina
y=-1+2cosa
x^2+y^2=4+2+4（sina-cosa）=6+4（sina-cosa）=6+4根号2sin（a-π/4)
最小为6-4根号2
最大为6+4根号2

Answer 6

x^2+y^2-2x+2y=6
(x-1)^2+(y+1)^2=8
r=2√2
作过原点和圆心直线方程
y=-x
求直线与圆交点
2（x-1)^2=8
得
（1）x=3,y=-3 ，x^2+y^2最大值=18
（2）x=-1,y=1，x^2+y^2最小值=2