Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log底数是2对数是3且对任意x、y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),

证f(x)为奇函数；
若f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)＜0对任意实数恒成立，求k的取值范围？
急 谢谢

Answer 1

解：取y=-x 得到f(x)+f(-x)=0 则为奇函数
因为f(0)=0 < f(3)=log3(2) f(x)单调，则f(x)单增
f(x+y)=f(x)+f(y) ===>> f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)=f(k*3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
∴关于3^x的二次方程k*3^x+3^x-9^x-2<0 恒成立 即：令(3^x)²-(k+1)(3^x)+2>0恒成立
由于3^x>0 设z=3^x 则只需z²-(k+1)z+2=0 有二负根或无解即可