Question

等差数列及等比数列的性质，及他们求和公式的性质

Answer 1

等差数列
通项公式
　　an=a1+(n-1)d 　　an=Sn-S(n-1) (n≥2) 　　an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
　　倒序相加法推导前n项和公式： 　　Sn=a1+a2+a3······+an 　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① 　　Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 　　固 Sn=n(a1+an)/2 　　等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： 　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 　　Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
　　且任意两项am，an的关系为： 　　an=am+(n-m)d 　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： 　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 　　am+an=ap+aq 　　S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。 　　和=（首项+末项）×项数÷2 　　项数=（末项-首项）÷公差+1 　　首项=2和÷项数-末项 　　末项=2和÷项数-首项 　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列
通项公式
　　an=a1q^(n-1) 　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 　　当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=na1
性质
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) 　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 　　(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 　　在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。 　　注意：上述公式中a^n表示A的n次方。