Question

二次函数题

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交与点B，连接OA。抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到达点A时停止移动。
1.求线段OA所在直线的解析式。
2.设抛物线顶点M的横坐标为m.
①用含m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短？
3.当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使ΔQMA的面积与ΔPMA的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）²+2．
假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．
设点Q的坐标为（x，x²-2x+3）．
①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C点的坐标是（0，-1）．
∵点P的坐标是（2，3），
∴直线PC的函数解析式为y=2x-1．
∵S△QMA=S△PMA，
∴点Q落在直线y=2x-1上．
∴x²-2x+3=2x-1．
解得x1=2，x2=2，
即点Q（2，3）．
∴点Q与点P重合．
∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积
相等．
②当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线DE函数解析式为y=2x+1．
∵S△OMA=S△PMA，
∴点Q落在直线y=2x+1上．
∴x²-2x+3=2x+1．
解得：x1=2+ √2，x2=2-√2．
代入y=2x+1得：y1=5+2√ 2，y2=5-2 √2．
∴此时抛物线上存在点Q1（2+√ 2，5+2 √2），Q2（2-√ 2，5-2√ 2）
使△QMA与△PMA的面积相等．
综上所述，抛物线上存在点，Q1（2+√ 2，5+2√ 2），Q2（2- √2，5-2√ 2）使△QMA与△PMA的面积相等．

Answer 2

(1)M(2m,m) 抛物线y=(x-2m)^2+m
当x=2 y=4m^2-7m+4
(2)m=7/8
()3MA是ΔQMA与ΔPMA的公共边，说明P到AM的距离等于Q到AM的距离设为h，那不就在AM的左边画一条平行AM，高为h的平行线，交在Q点。Q的坐标就算出来了，计算量比较大

追问

第2题中第一小题呢？

追答

1.是y=2x（0<=x<=2）
第2题中第一小题是：y=4m^2-7m+4，（m，4m^2-7m+4）