Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分角BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（A点除外），过点P作EF//AB

（1） 求证：四边形AEPM为菱形； （2）当P点在何处时菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 1

（1）证明：
∵EP∥AM
∴EM∥AM
∵PM∥AC
∴PM∥AE
∵PM∥AE，EP∥AM
∴四边形AEPM为菱形
（2）解:
∵平行四边形AEPM为菱形，
∴AP⊥EM，
又∵AB=AC,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EM//BC，∴四边形EFBM为平行四边形
要使菱形AEPM的面积为平行四边形EFBM面积的一半，
因为两个平行四边形的高相等,所以BM=2AM
设AP与EM交于点N，∵EM//BC，

即点P在线段AD的2/3 处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半。
分分哟！

Answer 2

（1）证明∵EF//AB,PM//AC,
∴四边形AEPM为平行四边形，
∴∠PAM=∠EPA,
又∵AD平分∠BAC，
∴∠PAE=∠PAM
∴∠PAE=∠EPA，
∴AE=EP，
∴平行四边形AEPM为菱形
（2）解:∵平行四边形AEPM为菱形，
∴AP⊥EM，
又∵AB=AC,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EM//BC，∴四边形EFBM为平行四边形
要使菱形AEPM的面积为平行四边形EFBM面积的一半，
因为两个平行四边形的高相等,所以BM=2AM
设AP与EM交于点N，∵EM//BC，

即点P在线段AD的2/3 处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半

Answer 3

（1）证明∵EF//AB,PM//AC,
∴四边形AEPM为平行四边形，
∴∠PAM=∠EPA,
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAE=∠PAM
∴∠PAE=∠EPA，
∴AE=EP，
∴平行四边形AEPM为菱形
（2）解: ∵平行四边形AEPM为菱形，
∴AP⊥EM，
又∵AB=AC,AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EM//BC，
∴四边形EFBM为平行四边形
要使菱形AEPM的面积为平行四边形EFBM面积的一半，
∵两个平行四边形的高相等,
∴ BM=2AM
设AP与EM交于点N，
∵EM//BC，
∴点P在线段AD的2/3 处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半