Question

如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=BC,AD是∠A的平分线。求证AC+CD=AB

Answer 1

证明:
过点D做AB的垂线
∴CD=DE
易证△ACD和ADE全等
所AC=AE
∵AC=BC,且∠C=90
∴∠CAB=∠B=45
在△DBE中
∵∠EDB=180-∠B-∠DEB
∴∠EDB=45
∴EB=DE
∴CD=EB
∵AB=AE+EB,且AE=AC,CD=EB
∴AB=AC+CD
即AC+CD＝AB

Answer 2

因，∠C=90° ，AC=BC
2AC^2=AB^2
AB=根号2AC
证AC+CD=AB
即证 CD=(根号2-1)AC
AD是∠A的平分线
CD=tan(45°/2)*AC
tan45°=2tan(45°/2)/(1-tan(45°/2)^2)
tan(45°/2)=根号2-1
成立

Answer 3

证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠B=∠CAB= （180°-∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，
∴∠B=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中，
∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴AE=AB．
∵AE=AC+CE=AC+CD，
∴AB=AC+CD．

Answer 4

证明：
由题意：AB是等腰△ABC的斜边，则△ABC是等腰直角三角形
过点D作DE垂直于AB交AB于E，因为AD是角平分线
易得△ACD≌△AED
∴CD=DE AC=AE
∵∠B=45度 DE⊥AB
∴△BDE是等腰直角三角形
∴DE=BE
∴CD=DE=BE
∴AC+CD=AE+BE=AB

Answer 5

证明：
由题意：AB是等腰△ABC的斜边，则△ABC是等腰直角三角形
过点D作DE垂直于AB交AB于E，因为AD是角平分线
易得△ACD≌△AED
∴CD=DE AC=AE
∵∠B=45度 DE⊥AB
∴△BDE是等腰直角三角形
∴DE=BE
∴CD=DE=BE
∴AC+CD=AE+BE=AB.....

第二种方法：因，∠C=90° ，AC=BC
2AC^2=AB^2
AB=根号2AC
证AC+CD=AB
即证 CD=(根号2-1)AC
AD是∠A的平分线
CD=tan(45°/2)*AC
tan45°=2tan(45°/2)/(1-tan(45°/2)^2)
tan(45°/2)=根号2-1
成立

Answer 6

过点D做AB的垂线
∴CD=DE
易证△ACD和ADE全等
所AC=AE
∵AC=BC,且∠C=90
∴∠CAB=∠B=45
在△DBE中
∵∠EDB=180-∠B-∠DEB
∴∠EDB=45
∴EB=DE
∴CD=EB
∵AB=AE+EB,且AE=AC,CD=EB
∴AB=AC+CD
即AC+CD＝AB