Question

已知△ABC周长是根号2+1，且SinA+SinB=根号2SinC，（1）求AB边长；（2）若△ABC面积是6分之1，求角C的度数

Answer 1

第一个问题：
∵sinA＋sinB＝√2sinC，∴结合正弦定理，容易得到：BC＋AC＝√2AB。······①
又BC＋AC＋AB＝1＋√2。······②
①－②，得：－AB＝√2AB－1－√2，∴（1＋√2）AB＝1＋√2，∴AB＝1。

第二个问题：
∵△ABC的面积＝（1/2）BC×AC×sinC＝1/6，∴BC×AC×sinC＝1/3。······③
将第一个问题的结论代入①，得：BC＋AC＝√2，两边平方，得：
BC^2＋AC^2＋2BC×AC＝2，∴BC^2＋AC^2－AB^2＋2BC×AC＝2－AB^2＝1。
由余弦定理，有：BC^2＋AC^2－AB^2＝2BC×AC×cosC，∴2BC×AC×cosC＋2BC×AC＝1，
∴2BC×AC×sinCcosC＋2BC×AC×sinC＝sinC。······④

将③代入④，得：（2/3）cosC＋2/3＝sinC，∴2＋2cosC＝3sinC，两边平方，得：
4＋8cosC＋（cosC）^2＝9（sinC）^2＝9－9（cosC）^2，
∴10（cosC）^2＋8cosC－5＝0，

∴cosC＝［－8＋√（64＋4×10×5）］/20＝（－8＋2√66）/20＝（－4＋√66）/10。
或cosC＝［－8－√（64＋4×10×5）］/20＝（－8－2√66）/20＝（－4－√66）/10
　　　＜（－4－√64）/10＝（－4－8）/10＝－12/10＜－1。
但在△ABC中，cosC＞－1，∴cosC＝（－4－√66）/10 是不合理的，应舍去。

而（－4＋√66）/10＞（－4＋√64）/10＝（－4＋8）/10＝4/10＝2/5，
又（－4＋√66）/10＜（－4＋√81）/10＝（－4＋9）/10＝5/10＝1/2，
∴2/5＜（－4＋√66）/10＜1/2。　∴cosC＝（－4＋√66）/10 是有意义的。
∴C＝arccos［（－4＋√66）/10］。