Question

已知f(x)为二次函数，若f(0）=0，且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x^2-2)的值域

Answer 1

设f(x)=ax^2 +bx+c
f(0)=0知c=0
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2 -ax^2 +b(x+1)-bx
=a(2x+1)+b
=2ax+(a+b) =x+1
那么a=1/2 a+b=1
解出b=1/2
所以f(x)=(1/2)x^2 +(1/2)x
考虑到x^2-2≥-2
所以y=f(x^2-2)值域就是求
f(x)=(1/2)x^2 +(1/2)x， x≥-2的值域
f(x)=(1/2)x^2 +(1/2)x=1/2*(x+1/2)^2-1/8，
f(x)的对称轴为x=-1/2 在x≥-2内 取到最小值-1/8
因为f(x)开口向上,而x≥-2 (能取到很大的正数) 所以f(x)无最大值
所以值域为[-1/8 ,+∞)