对于集合A,B,证明A∪B=A∩B是A=B的充要条件
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A∩B=B→A∪B=A
任取a∈A
∴a∈A∪B
∴A包含于A∪B；
任取a∈A∪B,
a∈A或a∈B
若a∈B，则a∈A∩B,则a∈A，
∴A∪B包含于A,
∴A=A∪B
证：A∩B包含于B
证：B包含于A∩B
任取a∈B,则a∈A∪B，即a∈A，
∴a∈B,且a∈A∴a∈A∩B
∴B包含于A∩B
∴B=A∩B
综上所述，即所证。
任取a∈A
∴a∈A∪B
∴A包含于A∪B；
任取a∈A∪B,
a∈A或a∈B
若a∈B，则a∈A∩B,则a∈A，
∴A∪B包含于A,
∴A=A∪B
证：A∩B包含于B
证：B包含于A∩B
任取a∈B,则a∈A∪B，即a∈A，
∴a∈B,且a∈A∴a∈A∩B
∴B包含于A∩B
∴B=A∩B
综上所述，即所证。
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若A=B,显然有A∪B=A∩B
若A∪B=A∩B，则A包含于A∩B，B包含于A∩B，因而A包含于B，且B包含于A，因而A=B
若A∪B=A∩B，则A包含于A∩B，B包含于A∩B，因而A包含于B，且B包含于A，因而A=B
追问
若A=B,显然有A∪B=A∩B 这算证明么。。
追答
A=B则A∪B=A∩B=A
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A∪B=A∩B=>A=B
A<AuB=AnB<B,同理,B<A
A∪B=A∩B<=A=B
A=B=AnB=AuB
A<AuB=AnB<B,同理,B<A
A∪B=A∩B<=A=B
A=B=AnB=AuB
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