Question

8. 已知椭圆C的方程为 ，试确定m的取值范围，使得对于直线 ，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称。

8. 已知椭圆C的方程为x2/4+y2/3=1 ，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m ，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称。（请具体)

Answer 1

设存在这样的两点A(x1,y1),B(x2,y2)
则AB的中点M(x0,y0)在椭圆内,且在直线y=4x+m上
AB垂直于直线y=4x+m
列出已知关系:
3x1^2+4y1^2=12...1(A在椭圆上)
3x2^2+4y2^2=12...2(B在椭圆上)
2x0=x1+x2........3(M是AB中点)
2y0=y1+y2........4(同上)
y0=4x0+m.........5(M在直线y=4x+m上)
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4...6(AB垂直于直线y=4x+m)
3x0^2+4y0^2<12...7(M在椭圆内)

1式-2式:
3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0
利用3,4,6式,得
3x0-y0=0
与5式联立,可得:
x0=-m,y0=-3m
代入7式:
3m^2+4(3m)^2=39m^2<12
于是m^2<4/13
所以-2√13/13<m<2√13/13

已经尽可能具体了。反正就是我的过程。