Question

一道高一数学题。求解

函数f（x）的定义域是（0，+无穷），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（0.5）=1.则f（2^n）= ？

求解释。

Answer 1

f（xy）=f（x）+f（y），
所以f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
f(0.5×2)=f(0.5)+f(2),
即f(1)=f(0.5)+f(2)，
0= f(0.5)+f(2)，
所以f(2)=-f(0.5)=-1
f(4)=f(2)+f(2)=-2
f(8)=f(4)+f(2)=-3，
f(16)=f(8)+f(2)=-4，
…………
f（2^n）=n*f(2)=-n.

Answer 2

解：令X=Y=1
则f(xy)=f(1=f(1)+f(1),f(1)=0
f(1)=f(0.5*2)=f(0.5)+f(2)=0
f(2)=0-1=-1
f（2^n）=2f(2^n-1）=2^2*f（2^n-2）.........=nf(2)=-n
希望对你有所帮助，如被采纳，甚幸！