Question

请问这道高中数学题怎么做？

如题：判断函数f(x)=x/x^+1的单调区间，并证明其单调性。
^是平方的意思。
会有两次追问，因为你们的答案我一次可能看不太明白，麻烦大家了！

Answer 1

先求这个函数的导数，求出导数以后，求出导数=0的特殊点，以这几个点为分界点，求出导数大于0和小于0的区间。在导数大于0的区间里，函数单调递增；导数小于0的区间里，函数单调递减。

Answer 2

x≠0时
f(x)=1/(x+1/x)
x>0,
(x+1/x)>=2，在（0,1】是减函数，在（1，∞）是增函数
则f(x)=1/(x+1/x)<=1/2,在在（0,1】是增函数，在（1，∞）是减函数。
x<0
(x+1/x)<=-2，在[-1,0)是减函数，在（-∞,-1）是增函数
则f(x)=1/(x+1/x)<=1/2,在[-1,0)是增函数，在（-∞,-1）是减函数

追问

你的答案很对，不过我对这种解法有些疑问：
令X10,X2^+1>0
问题2：那不是剩了一个(1-X1X2)吗，怎样判断X1X2和1的大小呢?
问题3：怎样确定增减区间，-1是怎么得的？

追答

只能这样回答你，这个是不能分解因式的，只有用不等式性质。
根据不等式性质，|x+1/x|>=2,当x=1/x时取等号，此时x=1,或x=-1,
但x不能为0，

Answer 3

分情况,当x>0:令x2>x1>0, f(x1)-f(x2)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1x2>0 f(x2)<f(x1)单调递减,区间为(0,无穷大)
当x<0: 令x2<x1<0, f(x1)-f(x2)=-1/x1+1/x2=(x1-x2)/x1x2>0 f(x2)<f(x1)单调递增