Question

行列式 习题 求详细解答

0 a a-b a-c a-d
-a 0 b b-c b-d
b-a -b 0 c c-d
c-a c-b -c 0 d
d-a d-b d-c -d 0

求证行列式的值为0

Answer 1

知识点: 奇数阶反对称矩阵的行列式等于0.

原因是由于 A' = -A
所以 |A| = |A'| = |-A| = (-1)^n|A| = -|A|
所以 |A| = 0

你给的行列式是5阶的反对称矩阵的行列式, 行列式等于0

追问

谢谢了~
目前还没有学矩阵 已经在习题中出现 是否有不需要矩阵知识的方法？

追答

可以不用
直接用行列式的性质: 行列式等于其转置行列式

D = D的转置行列式
0 -a b-a c-a d-a
a 0 -b c-b d-b
a-c b-c c 0 -d
a-d b-d c-d d 0
每行提出一个 (-1) 得
= (-1)^5 *
0 a a-b a-c a-d
-a 0 b b-c b-d
b-a -b 0 c c-d
c-a c-b -c 0 d
d-a d-b d-c -d 0
= (-1)^5 D
= -D.
即有 D=-D
所以 D=0.

Answer 2

设原行列式为D
0 a a-b a-c a-d
-a 0 b b-c b-d
b-a -b 0 c c-d
c-a c-b -c 0 d
d-a d-b d-c -d 0
每一列提出一个-1
0 -a b-a c-a d-a
a 0 -b c-b d-b
D=(-1)^5 a-b b 0 -c d-c (这个行列式就是原行列式的转置行列式)
a-c b-c c 0 -d
a-d b-d c-d d 0
=-D^T
(因为行列式与其转置行列式相等)
=-D
因为D=-D
所以D=0