Question

威尔逊定理

必要性]
　　若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得: 　　( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况 　　x^2 ≡ 1 ( mod p ) 　　解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p ) 　　其余两两配对;故而 　　( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )若p不是素数 则易知有d = gcd[p,(p − 1)!] = p 　　故而 　　( p -1 )! ≡ 0 ( ( mod p))

为什么“则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得: 　　( i j ) ≡ 1 ( mod p )”

Answer 1

对任意i，考虑i,2i,3i...(p-1)i，易验证任何两个数模p不同余（否则，设mi与ni同余，推出p|(m-n)i，与p是素数矛盾），所以有且仅有一个数j使ij模p余1