Question

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x)若f(1)=-5,则f(f(5))=

f(x+2)=1/f（x）
f(x)=f(x+4)
f（1）=-5
f（5）=-5
f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5
问：结果我知道，上面过程中，f(x)=f(x+4)是如何推出的（从函数着周期性来谈？）为什么函数的周期是4？

Answer 1

不是周期性，把已知条件变换一下可以得到f(x+2)*f（x）=1
运用递推可以得到： f(x+4)=1/f（x+2），也就是f(x+4)*f（x+2）=1，也就是1=f(x+4)*f（x+2），将最后这个式子与第一个式子左右两边分别相乘，就得到了f(x)=f(x+4)。是根据已知条件推导得来的。

追问

f(x+4)=1/f（x+2），是怎么推出来的？

追答

根据已知条件f(x+2)=1/f(x)，把x换成x+2得到的。

追问

为什么不是周期性？我们老师上课说那是周期性？

追答

我不是说这不是周期函数，我是说这道题开始做的时候你并不知道这个函数有周期性，根据已知条件，是可以推导出这个函数有周期性的。从根本上来，还是根据已知条件往下递推，得到更多可以利用的条件，从而解开题目。这个函数具有周期性是你从推导出的条件得到的，并不是一开始就知道的，不能作为已知条件利用。

追问

如何根据已知条件推导出他有周期性的？谢谢！

追答

你能得到f(x)=f(x+4)，这个没有疑问吧，那我们来看一下周期性的定义：对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) ，那么T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。这个周期是4还有疑问吗（再追问要花费财富值了）

追问

f(x)=f(x+4)，这个有疑问

追答

通过已知条件：
第一步：f(x+2)=1/f(x)（这个是已知条件）
第二步：f(x+4)=1/f（x+2），把第一步中的x代换成x+2，这个是成立的，希望你没有疑问
第三步，1/f（x+2）=f(x+4)，这一步是把第二步的式子左右两边交换了一下位置，
第四步，将第三步和第一步两个式子左右两边对应相乘，得到1=f(x+4)/f(x),应该没问题吧
第五步，将第四步得到的式子再变形，（左右两边都乘以f（x）），得到f(x)=f(x+4)
还有问题吗

追问

第二步：f(x+4)=1/f（x+2），把第一步中的x代换成x+2，有疑问.

追答

这个是函数的基本运用，原来的自变量是x，现在把自变量全部换成x+2，函数仍然是成立的，这是函数的基本性质。这一点看看书上怎么说的。

追问

你是数学爱好者吗？太厉害了！我猜你是老师或是教授？谢谢了！耽误你这么长时间，不好意思啊。谢谢，我终于明白了。

Answer 2

f(x+4)=f((x+2)+2)=1/f（x+2）=1/(1/f（x）)=f(x)

所以可以得到是周期函数，周期为4