Question

设二次函数f（x）=ax+bx+c在区间【-2,2】上的最大值，最小值分别是M，m。集合A={x|f（x）=x}，若A={1,2}，

设二次函数f（x）=ax+bx+c在区间【-2,2】上的最大值，最小值分别是M，m。集合A={x|f（x）=x}，若A={1,2}，且f（0）=2，求M和m的值

Answer 1

f(x)=x 即ax²+bx+c=x，ax²+(b-1)x+c=0
A={1,2}，即方程ax²+(b-1)x+c=0的根为1和2
所以ax²+(b-1)x+c=a(x-1)(x-2)=ax²-3ax+2a
所以b-1=-3a即b=1-3a， c=2a
所以f(x)=ax²+(1-3a)x+2a
由f(0)=2得2a=2即a=1
所以f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1
当x=-2时，取最大值f(-2)=10，所以M=10
当x=1时，取最小值f(1)=1，所以m=1

Answer 2

f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0
A={1}，说明a+b-1+c=0
又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0
∴a=c,b=1-2a
f(x)=ax^2+(1-2a)x+a
对称轴为x=1-1/(2a)，且 a>1
∴对称轴的取值范围是[1/2,1)
∴x=(2a-1)/2a时有最小值m，且为（4a-1）/4a
当x=-2时有最大值M，且为4a-2+4a+a=9a-2
g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1
g(a)在（0，+∞）上单调递增，所以a=1时有最小值
g(1)=8-1/4=31/4

Answer 3

f(x)=x 即ax²+bx+c=x，ax²+(b-1)x+c=0
A={1,2}，即方程ax²+(b-1)x+c=0的根为1和2
所以ax²+(b-1)x+c=a(x-1)(x-2)=ax²-3ax+2a
所以b-1=-3a即b=1-3a， c=2a
所以f(x)=ax²+(1-3a)x+2a
由f(0)=2得2a=2即a=1
所以f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1
当x=-2时，取最大值f(-2)=10，所以M=10
当x=1时，取最小值f(1)=1，所以m=1