Question

已知:如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M。求证AM=2/1（AB+AC)

Answer 1

在AM的延长线上做MN=MA，
1因为MA=MN且CM⊥AN，所以∠N=∠MAC且CA=CN;
2因为AD为∠BAC平分线，所以∠BAD=∠CAD;
3因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD;
所以∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADB+∠CAD;（由2，3得）
因为∠ADC=∠NDC+∠N，∠N=∠MAC，∠NDC=∠ADB,所以∠ADC=∠N+∠NDC,
因为∠ADC=∠N+∠NCD,所以∠NCD=∠NDC,所以NC=ND
所以AM=AN/2=(AD+ND)/2=(AB+NC)/2=(AB+AC)/2.

Answer 2

延长CM交AB延长线于F，取BF中点E，联接ME
∵AM⊥CF ∠CAM=∠FAM
∴∠ACF=∠F
∴AC=AF
∴CM=FM
∵BE=EF
∴EM∥BC
∴AD/AM=AB/AE
∵AD=AB
∴AM=AE
∵AC=AF=AE+EF AB=AE-BE=AE-EF
∴AB+AC=2AE=2AD
∴AD=1/2(AB+AC)