已知:如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M。求证AM=2/1(AB+AC)
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在AM的延长线上做MN=MA,
1因为MA=MN且CM⊥AN,所以∠N=∠MAC且CA=CN;
2因为AD为∠BAC平分线,所以∠BAD=∠CAD;
3因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD;
所以∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADB+∠CAD;(由2,3得)
因为∠ADC=∠NDC+∠N,∠N=∠MAC,∠NDC=∠ADB,所以∠ADC=∠N+∠NDC,
因为∠ADC=∠N+∠NCD,所以∠NCD=∠NDC,所以NC=ND
所以AM=AN/2=(AD+ND)/2=(AB+NC)/2=(AB+AC)/2.
1因为MA=MN且CM⊥AN,所以∠N=∠MAC且CA=CN;
2因为AD为∠BAC平分线,所以∠BAD=∠CAD;
3因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD;
所以∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADB+∠CAD;(由2,3得)
因为∠ADC=∠NDC+∠N,∠N=∠MAC,∠NDC=∠ADB,所以∠ADC=∠N+∠NDC,
因为∠ADC=∠N+∠NCD,所以∠NCD=∠NDC,所以NC=ND
所以AM=AN/2=(AD+ND)/2=(AB+NC)/2=(AB+AC)/2.
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