Question

数学前n项求和，3道题目

1.已知数列相邻两项an,a(n-1)是方程x^2-Cn*x+(1/3)^n=0的两根,且a1=2,求无穷等比数列c1,c2,c3,...cn,...的各项之和
2.已知数列{an}是首项为a1,公比为q(q>0)的等比数列，前n项和Sn,设Tn=Sn/S(n+1)
(n=1,2,3...)求limTn
3.已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,lim[a1/(1+q) -q^n}=1/2，求a1的取值范围
谢谢，麻烦写下过程
好的追分，很急。

Answer 1

第一题
解：由题意得
an*a(n-1)=(1/3)^n，an+a(n-1)=Cn
a1=2，容易求出a2=1/18
同理a2=1/18，求出a3=2/3
又由于Cn是等比数列，因此可以设Cn=C1*q^(n-1)
当n=2，a2+a1=C1*q，得C1*q=37/18
当n=3，a3+a2=C1*q2，得C1*q2=13/18
相除得出q=13/37，C1=1369/234（觉得结果很怪.....）
总之按这样算，前n项和是(50653/5616)*(1-(13/37)^n)（总觉得很不妥，有答案得话核对一下。。不知道有没有算错，但方法应该是这样）

第二题
解：an是等比数列
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
Sn+1=a1(1-q^(n+1))/(1-q)
相处得出
Tn=(1-q^n)/(1-q^(n+1))
当q∈(0，1)，limq^n=0，limq^(n+1)=0，则limTn=1
当q∈(1，+∞)，limq^n=+∞，limq^(n+1)=+∞，则limTn=q^n/q^(n+1)=1/q

第三题
解：按照题意，这个极限要存在，那么q∈(-1，0)∪(0，1]（因为q的绝对值如果大于1，那么limq^n=+∞，极限肯定不存在；-1也不可以，因为分母为0）
当q∈(-1，0)∪(0，1)，limq^n=0，即a1/(1+q)=1/2，a1=1/2*(1+q)
那么a1∈(0，1/2)∪(1/2，1)
当q=1，an是常数列，是等比数列的特殊情况，是符合题意的
limq^n=1，即a1/(1+1)-1=1/2，a1=3
综上所述
a1的取值范围是{a1| a1∈(0，1/2)∪(1/2，1)或a1=3}

看来答得太慢了，希望你再次上线看到之后会帮到你~

追问

第一题我算出来是要分奇偶的通项。。最后用S=a1/1-q算出来的13/4
第二题你貌似遗漏了q=1时，虽然Sn没有极限，但是Sn/Sn+1是有的。
第三题 貌似是对的。

总之谢谢你了^ ^..