Question

一个很难的中考数学题！

如图，记抛物线y=-x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，Pn-2Pn-1Qn-1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1= n2-12n3，S2= n2-42n3，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）
为什么是1/3
S1= (n2-1)/(2n3)，S2= (n2-4)/(2n3)

Answer 1

当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是(1/3）

这个里面实际要考虑到积分的问题才算的出来 W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时

这个抛物线可以近似的看成由无数个黑白三角形构成 也就是W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时 W实际接近抛物线面积的一半（n越大 黑白三角形几乎恰好可以镶嵌重合相等）

那么W=1/2∫（-x^2+1)dx     (0=<x<=1)

W=1/2 (-1/3*x^3+x)I(0,1)=1/2(-1/3+1-1/3*0-0)=1/2*2/3=1/3 

三角形面积=(1-1/n^2)/2n+(1-2^2/n^2)/2n+(1-3^2/n^2)/2n....

=((n-1)-n(n-1)(2n-1)/6n^2)/2n

=(n-1)(4n+1)/12n^2

=1/3-1/4n-1/12n^2

当n越来越大时,为1/3

Answer 2

当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是(1/3）
这个里面实际要考虑到积分的问题才算的出来 W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时
这个抛物线可以近似的看成由无数个黑白三角形构成 也就是W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时 W实际接近抛物线面积的一半（n越大 黑白三角形几乎恰好可以镶嵌重合相等）
那么W=1/2∫（-x^2+1)dx (0=<x<=1)
W=1/2 (-1/3*x^3+x)I(0,1)=1/2(-1/3+1-1/3*0-0)=1/2*2/3=1/3

Answer 3

楼上你华丽了...积分就行
如果不是作三角形 而是补成长方形的话 当n趋近无穷时 也就趋近于把抛物线围起的面积填满
这就是f(x)从0到1的积分 解出来是-x³/3+x 代入1和0 结果是2/3-0=2/3
然后由长方形复原为三角形 面积减半 就是1/3

我想说就算有无穷的思想没学过积分或者极限还是不可能求抛物线下面积的 中考怎么能考这个...

Answer 4

三角形面积=(1-1/n^2)/2n+(1-2^2/n^2)/2n+(1-3^2/n^2)/2n....
=((n-1)-n(n-1)(2n-1)/6n^2)/2n
=(n-1)(4n+1)/12n^2
=1/3-1/4n-1/12n^2
当n越来越大时,为1/3

Answer 5

这样就有S1= n2-12n3，S2= n2-42n3，看不懂啊；
对于中考就是难了
二楼正解

Answer 6

给你个图，你看看答案是三分之一