Question

求解两道高一数学题！

1.当a为何值时，不等式(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0的解是全体实数
2.解关于x的不等式(x-2)[x-(3a-1)]≤0
第二题打错
应该是(x-2)[x-(3a+1)]≤0
我想知道当a<1/3或a>1/3之后要怎么求解
思路知道但是过程不会

Answer 1

解：（1）令f（x）=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1
即等价为求当x为全体实数时f(x)<0恒成立的a的取值
故 对f(x)=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1而言，为一个二次函数
只要满足开口向下，与x轴无交点
∴ （a^2-1） < 0 ① 且 △=[-(a-1)]^2 - 4(a^2-1)*(-1)<0②
由①得 -1<a<1
由②得 -3/5<a<1
综合上述两式 得 -3/5<a<1
当 -3/5<a<1时不等式的解是全体实数
（2）不等式的临界点为 x1=2 x2=3a-1
当 3a-1>2，即a>1时， 不等式解为{2≤x≤3a-1}
当 3a-1=2，即a=1时，不等式解为 {x=2}
当 3a-1<2，即a<1时，不等式解为{3a-1≤x≤2}

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追问

a不是可以等于1吗 -1<0

Answer 2

1. 设f(x)=(a²-1)x²-(a-1)x-1<0
(1)当a²-1>0时，抛物线开口向上，曲线总是要穿过x轴，从而f(x)>0
所以不成立
(2) a²-1=0时，a=1则满足-1>0，恒成立；
a=-1，2x-1<0 x<1/2与x为全体实数不合
(3) a²-1<0时，抛物线开口向下，则只需f(x)=0时，方程无解即可
即判别式=[-(a-1)]²+4(a²-1)<0 即(a-1)²<0
不存在这样的a值
综上：a=1
2. (x-2)[x-(3a-1)]≤0
(1) 3a-1<2，a<1时
3a-1≤x≤2
(2) 3a-1=2，a=1时
(x-2)²≤0
所以x=2
(3) 3a-1>2，a>1时
2≤x≤3a-1

Answer 3

当a=1时，不等式变成-1<0 恒成立，不等式解是全体实数，满足
当a=-1时，不等式变成2x-1<0 ，解得x＜1/2 ，不满足
当a^2-1＞0时，即a＞1或者a＜-1，
f（x）=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1是个开口向上的二次函数。肯定有x0满足f（x0）≥0，不满足
当a^2-1＜0时，即-1＜a＜1时，f（x）=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1是个开口向下的二次函数，
要想不等式(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0的解是全体实数，即f（x）的图像和x轴没交点，
故令△＜0 ，解出此时a的范围，再和-1＜a＜1取交集就行

分类讨论
若3a-1<2则3a-1<=x<=2
若3a-1>2则3a-1>=x>=2
若3a-1=2则x=2

Answer 4

△<0
a^2-1<0,a∈(-1,1)
(a-1)^2+4(a^2-1)<0
(5a+3)(a-1)<0
a∈(-3/5,1)

a∈（-3/5,1)

当a=1时，-1<0恒成立
综上所述a∈（-3/5,1】

两根为2和3a-1
当2>3a-1,a<1,x∈【3a-1,2】
当2<3a-1,a>1，x∈【2,3a-1】
2=3a-1,a=1，x1=x2=2

Answer 5

分类讨论
（1）a=1, -1<0, :. a≠1
（2）a=-1, 2x-1<0, x=1/2, 取不到R，舍去
（3）a≠1，-1时，从函数观点看，a^2-1<0,开口向下才行，否则，总有x让y>=0
:. a^2-1<0, -1<a<1
再要求顶点小于零，△<0, 就是无解
(a-1)^2-4*(a^2-1)(-1)<0
(a-1)(5a+3)<0
-3/5<a<1

(2)

Answer 6

(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0
a=1成立
a^2-1<0 -1＜a＜1
b^2-4ac＜0 -5/3＜a＜1
故a为-5/3＜a≤1

(x-2)[x-(3a-1)]≤0
(x-2)[x-(3a-1)]=0
x=2 x=3a-1
当a=1时x=2
当a＞1时 2≤x≤3a-1
当a＜1时 3a-1≤x≤2