Question

设f(x)=ax^2+bx+c,(a>b>c),且f(1)=0,g(x)=ax+b

(1)求证：函数y=f(x)与g(x)得图像有两个交点 (2)设f(x)于g(x)的图像交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围(3)求证 当x<=-根号3时，恒有f(x)>g(x)

Answer 1

由题目可知 (1). a+b+c=0 因此 a>0, c<0. (2). a>b>c
1.
方法一：f(x) 与 g(x) 相交，则 ax^2+bx+c=ax+b ——> ax^2+(b-a)x+(c-b)=0。因为c-b<0， 则这个2次函数图像交y轴与负半轴；因为a>0, 开口向上，因此此2次函数与x轴有俩交点。所以g(x) 与 f(x) 有两个交点。
方法二：由f(x) 函数得知，c<0, 因此与y轴交在负半部分；a>0, 因此f(x) 开口向上。由g(x) 得知，因为b>c，g(x) 与y轴交点在f(x)与y轴交点上方；g(x)是一条直线，斜率为a；那么g(x) 和 f(x) 在左边肯定有个交点。但是我们怎样确定他们在右边都递增的部分也有交点呢。f(x)斜率为其求导 2ax+b。因此我们知道f(x)的斜率在不断变大，并且到某一位置可以超过g(x)的斜率，因此f(x)和g(x) 必有两个交点。
2. f(x) 和 g(x) 两函数交点的x值可根据ax^2+(b-a)x+(c-b)=0得出为x1= {(a-b)+√[(b-a)^2-4a(c-b)}/2a和 x2= {(a-b)-√[(b-a)^2-4a(c-b)}/2a 。那么|A1B1|就是A1到B1的距离，就应该是x1-x2= √[(a+b)^2-4ac]/a 取值范围不会算。。 如果|A1B1|是A1*B1,那么其结果为|(c-b)/a| 取值范围是大于0.。。
3. 参考楼上答案。。
我只是觉得第二题楼上是不是做错了。。

Answer 2

1.有题意 f(1)=a+b+c=0 有a>b>c 以此 a>0 c<0
当f(x)=g(x) ax^2+(b-a)x+c-b=0 即Δ=(a+b)^2-4ac>0 有两个交点
2.求两个根乘积绝对值的范围
即 A1*B1=b^2-((a+b)^2-4ac)/(4a^2)=(4c-2b-a)/(4a)
|A1*B1|=(a+2b-4c)/(4a)=(5a+6b)/(4a)=5/4+3/2*b/a
a>b -1<b/a<1 即|A1*B1|取值范围是(-1/4,11/4)
3.f(x)在(-∞,-b/(2a))为减函数 有-1/2<-b/(2a)<1/2 g(x)在(-∞,+∞)为增函数
当x=-√3时 f(x)-g(x)=(2+√3)(a-b)>0
以此 当x<=-√3时 恒有f(x)>g(x)