Question

设数列{an}满足a1=2,a(n+1)-an=3乘以2的（2n-1}次方 1.求数列的通项公式； 2.令bn=n乘以an,求数列前n项和

我数学不好 麻烦写出过程

Answer 1

这是常见的数列题 所以弄懂一次就好办了
1) 如下：
a(n+1)-an=3*2^(2n-1)
an-a(n-1)=3*2^(2(n-1)-1)
....
a3-a2=3*2^(2*2-1)
a2-a1=3*2^(2*1-1)
全部相加得到：a(n+1)-a1=3*[2^(2n-1)+2^(2(n-1)-1)+....+2^(2*2-1)+2^(2*1-1)]
右边每项可写作：2^(2n-1)=2^(2n)*1/2=4^n*1/2，就可以把所有的1/2提出来
所以：a(n+1)-a1=3/2*[4^n+4^(n-1)+....+4^2+4^1]=3/2*{[4^(n+1)-4]/[4-1]}=2*4^n-2=2*2^2n-2=2^(2n+1)-2，而a1=2
因此：a(n+1)=2^(2n+1)=2^(2(n+1)-1)，即：an=2^(2n-1)

2）如下：
bn=n*an=n*2^(2n-1)
Sn=b1+b2+...+b(n-1)+bn=1*2^(2*1-1)+2*2^(2*2-1)+....+(n-1)*2^(2*(n-1)-1)+n*2^(2*n-1)___(1)
4*Sn=2^2 * Sn=1*2^(2*2-1)+2*2^(2*3-1)+....+(n-1)*2^(2*n-1)+n*2^(2*(n+1)-1)___(2)
(2)-(1)：4*Sn-Sn=3*Sn=n*2^(2*(n+1)-1)-{2^(2*n-1)+2^(2*(n-1)-1)+....+2^(2*2-1)+2^(2*1-1)} =n*2^(2*(n+1)-1)- 1/2*{2^(2*n)+2^(2*(n-1))+....+2^(2*2)+2^(2*1)} =1/2 * n*2^(2*(n+1)) - 1/2*{4^n+4^(n-1)+....+4^2+4^1}=1/2* {n*4^(n+1) - [4^n+4^(n-1)+....+4^2+4^1]} = 1/2* {n*4^(n+1) - [4^(n+1)-4]/[4-1]} = 1/2* {n*4^(n+1) - 1/3* [4^(n+1)] + 4/3}
所以：Sn=1/6* {(n-1/3)*4^(n+1) + 4/3}

Answer 2

1)由题意可得 a(n+1)-an=3*2^(2n-1)
所以数列{an+1-an} 是以首项为6公比为4的等比数列
an+1-an=3*2^(2n-1)=6*4^(n-1)
an-an-1=3*2^(2n-3)=6*4^(n-2)
.....
a3-a2=6*4
a2-a1=6
所以an+1-a1=6*4^(n-1)+6*4^(n-2)+...+6*4+6=6*(4^(n-1)+4^(n-2)+...+4+1)
=2*4^n-2 a1=2
an+1=2*4^n=1/2*4^(n+1)
所以an=1/2*4^n=2^(2n-1)
2） bn=nan=n*2^(2n-1)
Tn=b1+b2+...+bn=1*2+2*2^3+3*2^5+...+(n-1)*2^(2n-3)+n*2^(2n-1）①
2^2Tn=1*2^3+2*2^5+3^2^7+...+(n-1)*2^(2n-1)+n*2^（2n+1）②
②-①得 3Tn=-2-2^3-2^5...-2^(2n-1)+n*2^(2n+1)=-2^(2n+1)/3+2/3+n*2^(2n+1)
Tn= n/3*2^(2n+1)-2^(2n+1)/3+2/3

Answer 3

以上是解答的截图

Answer 4