Question

若f(x)=a^x(a＞0且a≠1），证明f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2

Answer 1

法一：如果a≧0,b≧0,则有a+b≧2（ab）^(1/2),而现在f(x)=a^x，则f(（x1+x2)/2）=a^((x1+x2)/2),( f(x1)+ f(x2))/2=(a^x1+a^x2)/2≧(a^x1*a^x2)^(1/2)= f(（x1+x2)/2）,问题得证。
法二：结论f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2说明这个函数是一个凹函数，证明凹函数的方法就是二次导数大于等于0，于是求f(x)=a^x得二次导数就是（㏑a）^2*ax.很显然这个数是大于等于0的，于是乎证得这个函数是凹函数，所有就有题目中的结论了。
最后你再整理一下就可以了。