Question

证明函数y=x+1/x在(-无穷,-1)上是增函数

Answer 1

证明函数y=x+1/x在(-无穷,-1)上是增函数

证:设x1<-1,x2<-1,
且x1<x2.
由f(x1)=x1+1/x1
f(x2)=x2+1/x2
得f(x2)-f(x1)
=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1*x2)
=(x2-x1)-(x2-x1)/(x1*x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1*x2)]
=(x2-x1)[(x1*x2-1)/(x1*x2)]
由x1<x2.
得x2-x1>0,

x1<-1,x2<-1
则x1<-1<0,x2<-1<0,
x1*x2>0

由x1<-1,x2<-1
得x1+x2<-2
1+x1+x2<-1
有 -(1+x1+x2)>1 (1)

由x1<-1,x2<-1
得x1+1<0
x2+1<0,
则(x1+1)*(x2+1)>0
x1*x2+(x1+x2+1)>0
x1*x2>-(1+x1+x2),
又-(1+x1+x2)>1 (1)
得x1*x2>-(1+x1+x2)>1
从而x1*x2-1>0.

又x1*x2>0

有(x1*x2-1)/(x1*x2)>0

又x1*x2-1>0.

有(x2-x1)(x1*x2-1)/(x1*x2)>0
得f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1)

由x1<x2时.
有f(x2)>f(x1)
∴函数y=x+1/x在(-无穷,-1)上是增函数.

Answer 2

y'=1-1/x²>0 x∈(-∞,-1)
所以增函数
回答者： caltrop

同意此解法，求个导是最简单的。

Answer 3

y'=1-1/x²>0 x∈(-∞,-1)
所以增函数

追问

不懂