Question

在三角形ABC中，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7则这个三角形的最小外角是

Answer 1

解：三角形ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7，根据正弦定理，
a:b:c=3:5:7，
最长边所对的角就是这个三角形的最大内角，其外角就是最小外角。
根据余弦定理，cosC=(a² + b² - c²) / (2·a·b) =(9+25-49)/30=-1/2，
所以∠C=120°，
这个三角形的最小外角是(180°-120°)=60°

Answer 2

由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=R
得
a=RsinA, b=RsinB ,c=RsinC
因为 sinA:sinB:sinC=3:5:7
所以 a:b:c=3:5:7
令a=3k.b=5k,c=7k
c是最大边，那么角C的外角最小。
设角C的外角为 D，那么，<D=180-<C=<A+<B
cosD=cos(180-C)=-cosC=-(a²+b²-c²)/2ab=-k²(9+24-49)/30k²=16/30=8/15
<D=arc cos (8/15)