Question

高二数学直线方程距离问题

1、已知定点P(-2，-1)和直线L：（1+3a)x+(1+2a)y-(2+5a)=0,则点P到直线L的距离的范围是？
2、点p(x,y)在直线x+y-4=0上，则x^2+y^2的最小值是？
3.已知直线方程为（2+a)x+(1-2a)y+4-3a=0
过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程

Answer 1

P在L上，(1+3a)*(-1)+(1+2a)*(-2)-(2+5a)=0
-12a+(-1-2-2)=0
a=(-5/12)时，P到L距离为0

1+3a=0,a=-1/3时， y=1 P到l 距离d=|-1-1|=2
1+2a=0,a=-1/2时， x=-1 P到l 距离d=|-2-(-1)|=1
a≠-1/2且a≠-1/3时，
(1+3a)x+(1+2a)y-(2+5a)=0
过P垂直L直线l1:斜率k'=(1+2a)/(1+3a)
y-(-1)=[(1+2a)/(1+3a)](x-(-2))
y=[(1+2a)/(1+3a)](x+2) -1
(1+3a)y-(1+2a)x+(1+a)=0
(1+3a)x+(1+2a)y-(2+5a)=0
（1+3a)(1+2a)y+(1+a)(1+3a)-(2+5a)(1+2a)=0
y=（7a^2+5a)/[(1+3a)(1+2a)]=(7a^2+5a)/(6a^2+5a+1)
x=[(2+5a)(1+3a)+(1+a) (1+2a)] /[(1+3a)^2+(1+2a)^2]
=(3+14a+17a^2)/(13a^2+10a+2)
d^2=[(3+14a+17a^2)/(13a^2+10a+2)+2]^2 + [(7a^2+5a)/(6a^2+5a+1)+1]^2
=(43a^2+34a+7)^2/(13a^2+10a+2)^2+(13a^2+10a+1)^2/(6a^2+5a+1)^2
=[(43+34/a+7/a^2)/(13+10/a+2/a^2)]^2+[(13+10/a+1/a^2)/(6+5/a+1/a^2)]^2
a→∞,d^2→ (43/13)^2+(13/6)^2
0<=d<√[(43/13)^2+(13/6)^2]

2
P(x,y) x+y-4=0 y=4-x
x^2+y^2=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8
x=2时，x^2+y^2最小=8

3
(2+a)x+(1-2a)y + 4-3a=0 过定点P
2x+y+4+a(x-2y-3)=0
2x+y+4=0
x-2y-3=0
x=-1 y=-2
P(-1,-2)
AB中点P(-1,-2)
Ax/2=-1,Ax=-2,Ay=0
By/2=-2,By=-4,Bx=0
直线AB: y=[(-4)/(0-(-2))](x-(-2))
y=-2(x+2)