Question

如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E。BE与CD相交于点O，AO平分∠BAC,求证：OB=OC。

如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E。BE与CD相交于点O，AO平分∠BAC,求证：OB=OC。

Answer 1

因为，在△AOD和△AOE中，∠ADO = 90° = ∠AEO ，∠OAD = ∠OAE ，AO为公共边，
所以，△AOD ≌ △AOE ，
可得：AD = AE ，OD = OE ；
因为，在△ACD和△ABE中，∠ADC = 90° = ∠AEB ，AD = AE ，∠CAD = ∠BAE ，
所以，△ACD ≌ △ABE ，
可得：CD = BE ；
所以，OB = BE-OE = CD-OD = OC 。

Answer 2

∵CD⊥AB，BE⊥AC,AO平分∠BAC,
∴OE=OD（角平分线的性质）
∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠CEO=∠BDO=90°
∠COE=∠BOD(对顶角）
在△COE和△BOD中
∠COE=∠BOD
OD=OE
∠CEO=∠BDO
∴△COE≌△BOD
∴OB=OC
(全等三角形的对应边相等)

Answer 3

由已知得：证三角形ADO与AEO，ADC与AEB全等。
所以：DO=EO CD=BE
所以：OC=OB