Question

已知AB是圆O的直接，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=3/4CE，AC=8根号5

且D为EF中点，求AB长

Answer 1

主要用射影定理。
分别过C、D向AB作垂线，设垂足分别为M、N
为方便计算，可设CE=x，AE=y
由△CEM∽△FEA可得：AM=AE+EM=y+(2/3)y=(5/3)y
AD为RT△AEF的中线，所以AD=DE=(3/4)x，AN=(1/2)AE=(1/2)y

由射影定理：
AC²=AM*AB
即(5/3)y*AB=320.......................1式
AD²=AN*AB
即(1/2)y*AB=(9/16)x²..................2式

以上两个方程，3个未知数，还需补充1个：
CM²=CE²-EM²=x²-(4/9)y²
CM²=AC²-AM²=320-(25/9)y²
联立以上二式得：x²+(7/3)y²=320...............3式

解1、2、3式组成的方程组得：AB=24