Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=4,则f(-1)=？

我找到答案，但是不知道其中为什么要令X=Y=0，然后又令x=x，y=-x。这些我不懂
由于：
f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4
则有：
f(2)
=f(1+1)
=f(1)+f(1)
=2f(1)=4
则：f(1)=2

令x=y=0
则有：
f(0+0)=f(0)+f(0)
则：f(0)=0

再令X=x,y=-x
则有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x)=f(0)=0
则：
f(-x)=-f(x)
则：
f(-1)=-f(1)=-2

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4
则有：
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4
则：f(1)=2

第二步，
令x=y=0
则有：f(0+0)=f(0)+f(0) 则：f(0)=0

个人觉得这是错的，应令x=0，y=2.
得f(0+2)=f(2)=4,又f(0+2)=f(0)+f(2),所以得f(0)=0.

再令y=-x
则有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x)=f(0)=0
则：f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数

所以f(-1)=-f(1)=-2

Answer 2

有点要看你感觉的意思。
我是这样认为的，从2与-1靠拢，前一步拿到1了，那么两个东西相加与-1，我就想到0+（-1）这样要求f(-1)的，我还要知道f(0)，为了求f(0)，看题目，看条件可以有使x=y=0这种情况咯。
其实也可以是用f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)，效果一样。

Answer 3

由题可直接求出f(1)=2
而题中求f(-1)=？可猜想转化成求f(x)的奇偶性

f(0)=0
图像过原点，奇函数可能性较大，关键是找出f(x)与f(-x)的关系

注意到，f(0)=0，所以当y=-x时，左边：f(x+y)=f(0)=0
右边：f(x)+f(-x)

可判断其奇偶性。

Answer 4

首先是要判断这函数的奇偶性，就是第三部，另x=x。y=-x
剩下的就是求f(0)