Question

如图，点p是等腰直角三角形abc底边bc上一点，过点p作ba、ac的垂线，垂足为e、f，设d为bc的中点。

如图，点p是等腰直角三角形abc底边bc上一点，过点p作ba、ac的垂线，垂足为e、f，设d为bc的中点。求证：△def是等腰直角三角形。

（大家自己画一下图吧，我等级不够，不能传图。要详细过程，谢谢了）

Answer 1

如图所示：

【1】当p点为bc中点时，即图中△dgh，易知其为等腰直角三角形（这个不用我证了吧）

【2】当p点不为bc中点时，即图中△def

首先证等腰：

 ∵eg=1/2ab-be       fh=1/2ac-af

     ab=ac      be=ep=af

 ∴eg=fh

 又gd=hd， ∠egd=∠fhd=90°

 ∴△egd≌△fhd

 ∴ed=fd   即等腰

然后证直角：

 ∠gdh=90°（这是肯定的）

 ∠edg=∠fdh （由全等三角形所得）

 ∴∠edf=90°即直角

综上：△def是等腰直角三角形，得证

Answer 2

连接AD.
AD=BD,∠DAF=∠DBE=45°，AF=EP=BE,
△DAF≌△DBE,∠FDA=∠EDB. DF=DE
∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90度，
∴ △def是等腰直角三角形。

Answer 3

PB长度为x除以Sin45
PA长度为AB减去PB
PE长度为PA乘以Sin45
面积S为PD乘以PE
S=x(3-x)

追问

这样的我们没学过。要用直角三角形的有关性质和判定证明。