已知f(x)=lnx-ax^2-bx若f(x)的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,AB的中点为C（x0,0）求证f'(x0)>0
3个回答
展开全部
（II）证明：由已知得 {f(x1)=lnx1-ax12-bx1=0f(x2)=lnx2-ax22-bx2=0，
即 {lnx1=ax12+bx1lnx2=ax22+bx2，两式相减，得： lnx1x2=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)⇒ lnx1x2=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，
由f′（x）= 1x-2ax-b及2x0=x1+x2，得f′（x0）= 1x0-2ax0-b= 2x1+x2-1x1-x2lnx1x2
= 1x1-x2[2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2]= 1x1-x2[2(x1x2-1)x1x2+1-lnx1x2]，
令t= x1x2∈（0，1），且φ（t）= 2t-2t+1-lnt(0＜t＜1)，
∵φ′（t）= -(t-1)2t(t+1)2＜0，
∴φ（t）是（0，1）上的减函数，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x1＜x2，
∴f'（x0）＜0．
即 {lnx1=ax12+bx1lnx2=ax22+bx2，两式相减，得： lnx1x2=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)⇒ lnx1x2=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，
由f′（x）= 1x-2ax-b及2x0=x1+x2，得f′（x0）= 1x0-2ax0-b= 2x1+x2-1x1-x2lnx1x2
= 1x1-x2[2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2]= 1x1-x2[2(x1x2-1)x1x2+1-lnx1x2]，
令t= x1x2∈（0，1），且φ（t）= 2t-2t+1-lnt(0＜t＜1)，
∵φ′（t）= -(t-1)2t(t+1)2＜0，
∴φ（t）是（0，1）上的减函数，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x1＜x2，
∴f'（x0）＜0．
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
