Question

设f(x)=log2x-logx2(0<x<1)满足f(2^an)=2n

求an的通项公式
讨论an的单调性
求过程

Answer 1

(1)
f(x)=log2x-logx2=log2x-log2(2)/log2x
=log2x-1/log2x
f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-1/log2(2的an次方)=an-1/an=2n
an^2-2n·an-1＝0
（1）
此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0
根据(1)解得：an=n-√(n^2+1)
(2)an=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)]
分子有理化！
a(n+1))=-1/[n+1+√[(n+1)^2+1]>-1/[n+√(n^2+1)]=an
即：a(n+1)>an
{an}为单调递增！
后话：an<0,但不断接近0

Answer 2

(1)
f(x)=log2X-logx2=log2X-log2(2)/log2X
=log2X-1/log2X

f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-1/log2(2的an次方)=an-1/an=2n
an^2-2n·an-1＝0 （1）

此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0

根据(1)解得：an=n-√(n^2+1)

(2)an=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)] 分子有理化！
a(n+1))=-1/[n+1+√[(n+1)^2+1]>-1/[n+√(n^2+1)]=an
即：a(n+1)>an

{an}为单调递增！

后话：an<0,但不断接近0

Answer 3

（1）求通项
0<2^an<1------->an<0
f(2^an)=2n--------->log2(2^an)-log(2^an)2=an-1/an=2n---------->(an)^2-2nan-1=0-------->an=n-根号下n^2+1或an=n+根号下n^2+1(舍去)
（2）讨论单调性
an=n-根号下n^2+1=-(n+根号下n^2+1),显然n+根号下n^2+1递增，所以an递减