Question

抛物线y=2x的平方-4x+m与x轴相交于A,B两点，顶点是C,抛物线的对称轴与X轴相交于D。

（1）求实数M的取值范围
（2）顶点C的坐标和线段AB的长度 （用含M的代数式表示）
（3）若直线y=根号2 x+1分别与x轴，y轴交与E,F，则当m为多少时三角形BDC与三角形EOF全等

Answer 1

1）根据题设给出函数的解析式知方程y=2x²-4x+m=0有两个不同的解(即A和B)，所以方程的判别式Δ>0，即：16-8m>0，解得m的取值范围是：m<2
2）根据抛物线对称轴与函数式的关系知对称轴：x=-2a/b=1。所以顶点的横坐标为1，将其代入函数式得到C(1,m-2)；
而|AB|=|x1-x2|，x1和x2分别是A和B的横坐标，即第一问方程中的两个根，由根与系数的关系有：x1+x2=2 x1x2=m/2
|AB|=|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(4-2m)
3）显然|BD|=|AB|/2，而根据顶点坐标得到|CD|=|m-2|。|EO|=1/√2，|OF|=1。而∠BDC=∠EOF=90°，所以要满足题意就需要满足如下条件：
|BD|=|EO|，|CD|=|OF| 或者 |BD|=|OF|，|CD|=|EO|
解如上两个方程组即可得到m的值，这部分工作就留给你自己解决了。