Question

求椭圆方程

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2，
若圆(x-2)^2+(y-1^2=20/3与椭圆相交于A,B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程

Answer 1

解：设椭圆与圆的交点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)
则由题意知直线AB的斜率存在，有斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
且x1²/a² +y1²/b²=1，x2²/a² +y2²/b²=1
两式相减得：
(x1+x2)(x1-x2)/a² +(y1+y2)(y1-y2)/b²=0 （1）
由于线段AB恰为圆的直径，则可知圆心(2,1)是线段AB的中点
由中点公式可得：x1+x2=4,y1+y2=2
则（1）式可化为：4(x1-x2)/a² +2(y1-y2)/b²=0
即(y1-y2)/(x1-x2)=-2b²/a² （2）
因为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2
所以c/a=√2/2即a=√2c
又a²=b²+c²，则有b=c
所以a²=2b²
所以由（2）式可得：
直线AB的斜率k=-1
由此直线AB的方程可写为：y-1=-1×(x-2)即y=-x+3
将直线AB的方程与圆的方程(x-2)²+(y-1)²=20/3联立，求解交点A.B坐标
消去y可得：(x-2)²+(-x+3-1)²=20/3
即(x-2)²=10/3
解得x1=2+(√30)/3，y1=-1-(√30)/3或x2=2-(√30)/3，y2=-1+(√30)/3
则点A坐标为( 2+(√30)/3，-1-(√30)/3 )，点B坐标为( 2-(√30)/3，-1+(√30)/3 )
由a²=2b²可将椭圆方程x²/a² +y²/b²=1化为x²/(2b²) +y²/b²=1即x²+2y²=2b²
由于点A( 2+(√30)/3，-1-(√30)/3 )在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程可得：
[ 2+(√30)/3]²+2[-1+(√30)/3]²=2b²
即4+4(√30)/3 +10/3 +2-4(√30)/3 +20/3=2b²
2b²=16
解得b²=8，a²=2b²=16
所以椭圆方程为x²/16 +y²/8=1

² ³ ×