Question

如图，已知AB是圆O的直径，BC为圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA=r

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA=r.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC=（9/2）*r,求CD的长

Answer 1

（1）证明：
连接OD，∵OC//AD ,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC
∴∠DOC=∠BOC,
∵DO=BO,CO=CO
∴⊿CDO≌⊿CBO(SAS),∴∠CDO=∠CBO=90º
即DC是⊙O的切线。
（2）解：
作OE⊥AD，则AE=DE,
∵⊿DEO∽⊿ODC【我不做详细证明】
∴OC:OD=OD:DE＝＞OC·DE=OD²
∵DE=½AD,∴AD·OC=2OD²=2r²
(3)解：
AD=（9/2）r-OC
AD·OC=2r²
OC²-(9/2)r·OC+2r²=0
解得OC1=½r(不成立)，OC2=4r
CD²=OC²-OD²=16r²-r²=15r²
CD=√15r

Answer 2

(1)连接OD
∵OC∥AD
∴∠COD=∠ODA，∠BOC=∠OAD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠BOC=∠DOC
∵OB=OD，OC=OC
∴△BOC≌△DOC
∴∠ODC=∠OBC=90°
∴CD是圆O的切线
（2）P在DE的中点
证明：
延长BC，AD相交于点F
∵OA=OB，OC∥AF
∴BC=CF
∵DE∥BF
∴DP/FC=AP/AC=PE/BC
∵FC=BC
∴DP=PE

Answer 3

(1)连接OD
∵OC∥AD
∴∠COD=∠ODA，∠BOC=∠OAD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠BOC=∠DOC
∵OB=OD，OC=OC
∴△BOC≌△DOC
∴∠ODC=∠OBC=90°
∴CD是圆O的切线
（2）P在DE的中点
证明：
延长BC，AD相交于点F
∵OA=OB，OC∥AF
∴BC=CF
∵DE∥BF
∴DP/FC=AP/AC=PE/BC
∵FC=BC
∴DP=PE