Question

在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM，且交角CBE的平分线于N

（1）求证：MD=NM
（2）苦将上述条件占的“M是AB中的中点”改为“M是AB 上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=NM”还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由
那个图就麻烦自己画一下...谢了

Answer 1

：（1）取AD的中点H，连接HM．
在△DHM和△MBN中，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD，
∵AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠DHM=∠MBN=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．
同理可证：△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．

Answer 2

证明：（1）取AD的中点H，连接HM，                                 
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，   

∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠MBN=135°，
∵AH=AM，
∴∠AHM=45°
∴∠HDM=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．

∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，又∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），
又BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，又DH=BM，∠MDH=∠NMB，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．

Answer 3

1）求证：MD=NM
（2）苦将上述条件占的“M是AB中的中点”改为“M是AB 上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=NM”还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理

Answer 4

证明：
（1）作NF垂直CB于F，NG垂直AE于G，MN交BC于H，于是我们就由题意得到正方形NFBG，由图可知三角形DAM相似于三角形MBH相似于三角形NFH，我们社正方形ABCD的边长为a,于是我们就得到AM=BM=a/2,BH=a/4,设FH=x，由相似得NF/FH=2,
（x+a/4)/x=2,x=a/4,所以正方形NFBG的边长为a/2=AM,所以RT三角形DAM全等于
RT三角形MGN,所以DM=MN.
(2)设BM=a,MA=b,则DA=a+b,由于三角形DAM相似于三角形MBH，
所以有BH=ab/(a+b),设FH=x,由三角形NFH相似于三角形MBH,
得到x/(x+ab/(a+b))=b/(a+b),得到x=b^2/(a+b),于是NG=b^2/(a+b)+ab/(a+b)
=b=MA,所以RT三角形DAM全等于RT三角形MGN,所以DM=MN.