Question

已知△ABC为等边三角形,在图a中,点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交

已知△ABC为等边三角形,在图a中,点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点
（1）图a中，∠BQM为多少度？
（2）若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上其他条件不变，如图b，（1）中的结论是否成立？如果成立，请加以证明，如果不成立，请说明理由,

Answer 1

（1）解：因为BM=CN，且三角形ABC为等边三角形
所以BC-BM=AC-CN
所以CM=AN
所以M,N分别为BC,AC的中点
所以AM垂直于BC,BN垂直于AC
所以角BMA为90度
又因为BN交AM于Q
所以三角形BQM为等腰直角三角形
所以角BQM为45度

Answer 2

(1) ∠BQM为60°。理由如下：
因为BM=CN，AB=BC，∠ABC=∠C
所以△ABM≡△BCN
所以∠NBC=∠BAM
所以∠BQM=180°-∠NBC-∠AMB=180°-∠BAM-∠AMB=∠ABM=60°
(2)成立，继续证全等
∴∠QBA=∠CAM
∵ ∠BAC+∠CAM=∠QBA+∠BQM
∴∠BAC=∠BQM=60°

Answer 3

1) ∠BQM为60°。理由如下：
因为BM=CN，AB=BC，∠ABC=∠C
所以△ABM≡△BCN
所以∠NBC=∠BAM
所以∠BQM=180°-∠NBC-∠AMB=180°-∠BAM-∠AMB=∠ABM=60°
(2)成立，继续证全等
∴∠QBA=∠CAM
∵ ∠BAC+∠CAM=∠QBA+∠BQM
∴∠BAC=∠BQM=60°