Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠MAC的平分线交于点O.求证：点O在∠ACN的平分线上。

Answer 1

证：设点P是△ABC的内心，AC交BO于D，
则 2∠ABP+2∠BAP+2∠ACP=180°
⇒∠ABP+∠BAP+∠ACP=90°
∠ABP+∠BAP=∠APO⇒∠APO+∠ACP=90°
又 AP，AO分别是∠BAC和∠CAM的平分线, ∠BAC+∠CAM=180°，
所以 ∠CAP+∠CAO=90°⇒∠APO+∠AOP=90°⇒∠AOP=∠ACP
又 ∠ADO=∠PDC⇒△ADO≈△PDC⇒AD/PD=OD/CD⇒△ADP≈△ODC
⇒∠APO=∠OCD⇒∠OCD+∠PCD=90°
因为 ∠ACB+∠ACN=180°，∠BCD=∠PCD，所以 ∠PCD=∠NCO
所以 CO是∠ACN的角平分线。

Answer 2

图呢……